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5
On 12.12.2020
Last modified:12.12.2020

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The latter series is an example of a Dirichlet series. The benefit of introducing the Riemann zeta function is that it can be defined for other values of s by analytic continuation.

The eta function is defined by an alternating Dirichlet series, so this method parallels the earlier heuristics.

Where both Dirichlet series converge, one has the identities:. Smoothing is a conceptual bridge between zeta function regularization, with its reliance on complex analysis , and Ramanujan summation, with its shortcut to the Euler—Maclaurin formula.

Instead, the method operates directly on conservative transformations of the series, using methods from real analysis. The cutoff function should have enough bounded derivatives to smooth out the wrinkles in the series, and it should decay to 0 faster than the series grows.

For convenience, one may require that f is smooth , bounded , and compactly supported. Ramanujan wrote in his second letter to G.

Hardy , dated 27 February Ramanujan summation is a method to isolate the constant term in the Euler—Maclaurin formula for the partial sums of a series.

To avoid inconsistencies, the modern theory of Ramanujan summation requires that f is "regular" in the sense that the higher-order derivatives of f decay quickly enough for the remainder terms in the Euler—Maclaurin formula to tend to 0.

Ramanujan tacitly assumed this property. Instead, such a series must be interpreted by zeta function regularization. For this reason, Hardy recommends "great caution" when applying the Ramanujan sums of known series to find the sums of related series.

Stable means that adding a term to the beginning of the series increases the sum by the same amount. This can be seen as follows. By linearity, one may subtract the second equation from the first subtracting each component of the second line from the first line in columns to give.

In bosonic string theory , the attempt is to compute the possible energy levels of a string, in particular the lowest energy level.

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3 Kommentare zu „Www1 2 3“

  1. Nach meiner Meinung irren Sie sich. Geben Sie wir werden es besprechen. Schreiben Sie mir in PM.

    Ich entschuldige mich, aber meiner Meinung nach irren Sie sich. Geben Sie wir werden es besprechen. Schreiben Sie mir in PM.

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